L0 · 实验记录
估计关节的惯量与阻尼
第一节实验从一个转动关节开始。我们会根据实验数据估计它的惯量和阻尼，再用一段新的运动，检验模型预测得准不准。
我们先观察初始模型的偏差，再跟着拟合与验证的结果，看看数据告诉了我们什么。需要先熟悉输入、观测和参数时，可以回到 K1 · 系统辨识基础。
实验契约
uJ + 阻尼 bq + 速度 q̇先看初始模型的偏差
给一个关节和它的模型施加相同的力矩，为什么它们会越转越不一样？原因可能很简单：模型里的参数还没有估计准确。
下面的短片中，白色表示产生观测的系统，橙色表示初始模型。先观察两者的位置，再比较下方使用相同刻度的速度条。
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同一个方程：J qdd + b qd = u。比较真实系统与初始模型。
同一段实际力矩驱动两个系统。白色表示真实系统，橙色表示初始模型。
下方速度条使用相同尺度。阻尼不正确时，运动响应会明显不同。
我们希望用记录下来的运动修正参数。要判断修正是否有用，还需要让模型预测一段没有参与拟合的新运动。
这个关节怎样运动
实验从已知的实际力矩开始，记录角位置和角速度。模型只包含惯量和黏性阻尼：
$$ J\ddot q+b\dot q=u $$
$q$ 是角位置，单位为 rad；$\dot q$ 是角速度，单位为 rad/s；$\ddot q$ 是角加速度。$u$ 是实际力矩，单位为 N m。要估计的两个参数是惯量 $J$（kg m²）和阻尼 $b$（N m s/rad）。
惯量决定了关节有多难加速；黏性阻尼决定了同样速度下有多大的阻力。比如，在速度相同、阻尼相同的时刻，增大惯量会让相同净力矩产生更小的加速度。
这个实验没有重力、摩擦中的非黏性部分或传感器噪声。产生数据的系统与待拟合模型使用相同的方程。我们知道真实参数，便于最后核对；拟合程序只能使用时间、力矩、位置、速度，以及事先选定的参数范围和初始猜测。
用怎样的运动收集数据
我们事先准备两组不同的输入。第一组用于估计参数，第二组留到拟合完成后再检查预测。
| 数据 | 施加的力矩 | 用途 |
|---|---|---|
| 拟合 | 频率逐渐升高的正弦信号，称为扫频 | 估计惯量和阻尼 |
| 验证 | 由几个固定频率的正弦信号叠加而成的多正弦信号 | 检查另一种运动的预测 |
扫频让关节经历不同快慢的运动，有助于区分惯量和阻尼的影响。验证使用另外一种频率组合，检查估计出的参数能否解释新的运动。两组运行都从实验规定的相同初始状态开始。
根据数据拟合参数
拟合程序反复尝试不同的 $J$ 和 $b$，用模型预测位置和速度，再比较预测与观测的差异。它沿着减小误差的方向调整参数。
先看拟合前后的对比。橙色是初始模型，蓝色是辨识后模型；蓝色接近真实系统，表示这段用于拟合的运动已经能够被较好地重现。
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用拟合观测搜索惯量 J 和阻尼 b，观察位置误差的变化。
橙色是初始模型，蓝色是辨识后模型。相同坐标尺度让偏差可比较。
蓝色与真实系统重合，支持这次拟合匹配成功；还需要留出验证。
下面的短片把参数调整过程展开。左侧显示不同参数对应的损失，右侧显示对应的运动预测。沿着箭头移动时，留意曲线怎样接近观测。
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左侧：不同 J、b 对应的损失；右侧：对应模型的位置曲线。
箭头连接优化器实际接受的迭代点；颜色表示损失大小。
随着参数移动，比较当前模型与记录下来的真实轨迹。
最终模型接近真值。优化路径解释了这次拟合，不证明所有问题都会收敛。
这次运行得到的参数如下。表中的真实值只用于核对结果。
| 量 | 真实系统 | 初始模型 | 辨识后模型 |
|---|---|---|---|
惯量 J（kg m^2） |
0.06500000 | 0.09500000 | 0.06500000 |
阻尼 b（N m s/rad） |
0.05500000 | 0.01800000 | 0.05500000 |
换一个初始猜测会怎样
一次成功的拟合，可能与起点有关。我们再用九组初始猜测运行相同的估计过程，看看它们是否会到达相同的解。
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一次成功可能与起点有关。这次比较九个初始猜测。
所有路径使用相同的数据、模型和公开参数边界。
多起点到达同一解，支持本实验的收敛稳定性。仍不能代替留出验证。
这些起点都收敛到同一结果，说明这次实验的拟合对这些初始猜测比较稳定。接下来还要检验新运动；多起点收敛本身不能回答预测是否有效。
用新运动检查预测
现在固定辨识后的参数，输入事先留出的多正弦力矩。这组数据没有用于拟合或挑选参数。
先看图的前两行：左列是拟合（Fit），右列是验证（Validation），分别比较位置和速度。深色实线是真实系统，橙色是初始模型，蓝色虚线与空心标记是辨识后模型。点击图片可以查看大图。
第三行显示两组实验施加的力矩。第四行的两幅残差图都来自拟合数据：左边是位置残差，右边是速度残差。最下方还有参数对比。
下表报告位置 q 和速度 qd 的平均绝对误差（MAE），数值越小表示平均偏差越小。前面视频使用的均方根误差（RMSE）会更强调较大的偏差，读数时要注意指标名称。
| 数据 / 模型 | q MAE（rad） | qd MAE（rad/s） |
|---|---|---|
| 拟合 / 初始模型 | 4.3107227 | 1.4136074 |
| 拟合 / 辨识后模型 | 1.5607874e-14 | 1.2252942e-14 |
| 验证 / 初始模型 | 2.7396426 | 0.87716149 |
| 验证 / 辨识后模型 | 1.8251542e-14 | 2.0286828e-14 |
报告中的残差是“模型预测减去观测”。第四行的位置与速度残差都接近零，与拟合误差表中的结果一致。误差达到约 $10^{-14}$ 的量级，是因为本例使用相同方程和理想观测，拟合后只剩极小的数值误差。真实测量通常达不到这种结果。
报告是静态图；这段短片先展示数据划分，再展示留出的响应。多正弦输入在拟合前就已保留，蓝色曲线只在最后评估一次，参数没有再调整。
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啁啾用于估计 J 和 b；留出的多正弦只在拟合后评估。
在留出位置曲线上，橙色是初始模型，蓝色是辨识后模型。
辨识后轨迹与真实系统重合，支持在声明边界和理想观测下进行预测。
想一想，再对照结果
- 相同速度、相同阻尼下，如果惯量变大，同样的净力矩会使关节加速得更快还是更慢？
- 如果只展示左侧拟合曲线，我们还缺少什么证据？
- 如果拟合很好，但右侧验证误差很大，你会怎样继续检查？
查看参考思路
惯量变大时，加速度更小。拟合曲线只能说明模型匹配了用于调参的数据，还需要检查未参与调整的运动。
如果验证较差，可以先改变起点，检查拟合是否稳定，再看实验是否充分激发了参数的影响，以及模型是否漏掉了某种效应。还要核对两组数据的初始状态、单位和输入定义。根据验证结果作出修改后，最终评估需要另外保留的数据。
如果曲线看起来完全一致，先检查输入和观测列，再相信参数值。当你能说清哪些是拟合证据、哪些是留出证据时再继续。
这次结果适用于什么条件
在已知实际力矩、观测理想、模型结构正确的条件下，我们恢复了惯量和阻尼，并预测了另一种输入下的运动。
真实关节还可能受到控制器、延迟、力矩限幅、其他摩擦、柔性和测量噪声的影响。遇到这些情况，要重新检查模型和实验。下一课 L1 · 从运动中估计指令延迟 会加入位置控制器和一个未知延迟，研究图纸上看不到的时序效应。
可选：自己运行实验
如果想改变参数再比较一次，可以在仓库根目录运行以下命令。实验使用 CPU；前两条准备依赖并生成报告，最后一条打开本地交互应用。
python -m pip install -r requirements-interactive.txt
python -m synthetic.l0_inertia_damping --output-dir reports/l0_inertia_damping
python -m marimo run apps/l0_inertia_damping.py --host 0.0.0.0 --port 2718
在应用里改变初始阻尼，先预测橙色曲线会怎样变化，再观察预览。蓝色仍代表上一次拟合结果；点击 Run identification（运行辨识） 后再比较新结果和验证误差。